Еще задачка :-)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 02:11:24 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> Пример: теория A - теория рациональных чисел, теория B -
SN>> планиметрия. (Приводить системы аксиом для них не буду).
SN>> Соответствие устраиваем
SN>> так: на плоскости выбираются точки с целочисленными координатами.
SN>> Интересующие нас объекты - все прямые, проходящие через начало
SN>> координат и какие-либо "целочисленные" точки (не совпадающие с
SN>> началом координат). Нетрудно заметить, что любому рациональному
SN>> числу можно поставить в соответствие ровно одну такую прямую.
SN>> Именно: если m/n - несократимая дробь, равная рациональному числу
SN>> r, то соответствующая прямая - проходящая через начало координат
SN>> и точку (m,n). Всяческие свойства и взаимоотношения рациональных
SN>> чисел без особого труда переформулируются в свойства и
SN>> взаимоотношения таких прямых.

AН> Уже непонятно. Что такое сумма или произведение прямых? Чем отличаются
AН> прямые r и -r ?

У меня в описании есть неточность: нужно вместо "все прямые" поставить "все прямые, кроме оси Y". Остальное несложно: -r симметрична r относительно оси X (которая соответствует 0). Сумма и произведение нельзя сказать, чтобы были сильно осмыслены геометрически, но вполне выразимы.
Пример модели был взят первый пришедший в голову, возможно, что после бани фантазия была несколько притуплена :-) Такую модель я встречал в решении какой-то задачки, вспомнить в какой сейчас уже слабО ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 12:09:08 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> Соответствие устраиваем
SN>> так: на плоскости выбираются точки с целочисленными координатами.
SN>> Интересующие нас объекты - все прямые, проходящие через начало
SN>> координат и какие-либо "целочисленные" точки (не совпадающие с
SN>> началом координат). Нетрудно заметить, что любому рациональному
SN>> числу можно поставить в соответствие ровно одну такую прямую.
SN>> Именно: если m/n - несократимая дробь, равная рациональному числу
SN>> r, то соответствующая прямая - проходящая через начало координат
SN>> и точку (m,n).

И еще здесь не так, должно быть "точку (n,m)". Иначе то, что я в предыдущем послании написал будет неверно. Что после бани, что глубокой ночью с внимательностью и аккуратностью - проблемы.

SN>> Всяческие свойства и взаимоотношения рациональных
SN>> чисел без особого труда переформулируются в свойства и
SN>> взаимоотношения таких прямых.

AН> Уже непонятно. Что такое сумма или произведение прямых? Чем отличаются
AН> прямые r и -r ?

Прямая r <-> y=rx
Сумма: r1+r2 <-> y=(r1+r2)x
Произведение: r1r2 <-> y=(r1r2)x
-r <-> y=-rx

Можно было и не рациональные, а вещественные числа. Картинка с рациональными мне понравилась связью с целочисленной решеткой :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 18:43:56 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Вторник 16 Января 2024 02:11, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a5c052:

SN> выразимы. Пример модели был взят первый пришедший в голову, возможно,
SN> что после бани фантазия была несколько притуплена :-) Такую модель я
SN> встречал в решении какой-то задачки, вспомнить в какой сейчас уже
SN> слабО ...

При слове "модель" мне вспоминаются законы Кулона и Ньютона. Настолько одинаковые, что физики до сих пор ищут тела с отрицательной массой.


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 18:46:52 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Вторник 16 Января 2024 12:09, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a64ae8:


SN> Прямая r <-> y=rx
SN> Сумма: r1+r2 <-> y=(r1+r2)x
SN> Произведение: r1r2 <-> y=(r1r2)x
SN> -r <-> y=-rx

Семён Семёныч! Но полезность такой модели яснее не стала.



С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 23:14:44 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> Прямая r <-> y=rx
SN>> Сумма: r1+r2 <-> y=(r1+r2)x
SN>> Произведение: r1r2 <-> y=(r1r2)x
SN>> -r <-> y=-rx

AН> Семён Семёныч! Но полезность такой модели яснее не стала.

Полезность собственно математики состоит только в упражнении интеллекта :-)
Я просто привел пример модели для весьма разных объектов.

Полезность у математических теорий появляется, когда для них строятся модели в значимых областях реальности. Тогда достижения математических теорий дают инструменты для описания и исследования реальности.

Кстати, яркий пример ограниченности моделей математики в реальности - в мультике про Машу и Медведя, где Медведь учит Машу арифметике с использованием яблок.

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 23:39:16 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> В su.hardw,other недавно зашёл разговор о хадаче на закон Архимеда: из
AН> лодки выбросили камень. Как изменится уровень воды в озере, по
AН> которому эта лодка плавает, а на дно которого упал камень? Изменение
AН> будет настолько незначительным, что измерить его невозможно.

В этот раз не после бани и не глубокой ночью :-)
Буду оспаривать тезис о невозможности измерить ...
Сначала "сферическая ситуация в вакууме":
Площадь "озера" - 1 кв. метр, глубина не очень важна, просто достаточная, стенки водоёма вертикальные, камень плотностью 5, весом в тонну.
Когда камень в лодке, он вытесняет 1 кубометр воды. Когда камень на дне - 0.2 кубометра. Изменение уровня воды - 80 см. Измеряется просто.
Масштабируем на более реальную площадь озера, скажем 1 кв. километр. Изменение уровня получается 0.8 микрона. Линейкой уже не померяешь, но современные методы измерения смещений такие смещения вполне меряют. Самые продвинутые - те, что используются в регистраторах гравитационных волн, ловят смещения порядка размера протона. На порядки более мелкие, чем в этой задаче.

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 23:59:24 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Рядом с этой задачей обсуждали ещё одну: озеро или кастрюля, в ней
AН> плавает льдина, она тает, как меняется уровень воды?

Здесь даже направление изменения уровня зависит от начальных условий.
Льдина в горячей воде: после того, как все устаканится, температура воды будет ниже, плотность выше - уровень будет ниже.
Льдина в холодной (4 градуса Цельсия) воде. После установления равновесия температура будет ниже, плотность уменьшится - уровень увеличится.
Более экзотические варианты разбирать лень :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 20:11:04 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Среда 17 Января 2024 23:14, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a837cc:

SN> Кстати, яркий пример ограниченности моделей математики в реальности -
SN> в мультике про Машу и Медведя, где Медведь учит Машу арифметике с
SN> использованием яблок.

Машу и Медведя не смотрел, Приключения Буратино читал. Про отрицательных рыб Дирака читал. Но где тут ограниченность моделей?


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 20:13:48 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Среда 17 Января 2024 23:39, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a83f7d:

AН>> В su.hardw,other недавно зашёл разговор о хадаче на закон
AН>> Архимеда: из лодки выбросили камень. Как изменится уровень воды в
AН>> озере, по которому эта лодка плавает, а на дно которого упал
AН>> камень? Изменение будет настолько незначительным, что измерить
AН>> его невозможно.

SN> В этот раз не после бани и не глубокой ночью :-)
SN> Буду оспаривать тезис о невозможности измерить ...
SN> Сначала "сферическая ситуация в вакууме":
SN> Площадь "озера" - 1 кв. метр, глубина не очень важна, просто
SN> достаточная, стенки водоёма вертикальные, камень плотностью 5, весом в
SN> тонну. Когда камень в лодке, он вытесняет 1 кубометр воды. Когда
SN> камень на дне - 0.2 кубометра. Изменение уровня воды - 80 см.
SN> Измеряется просто. Масштабируем на более реальную площадь озера,
SN> скажем 1 кв. километр. Изменение уровня получается 0.8 микрона.
SN> Линейкой уже не померяешь, но современные методы измерения смещений
SN> такие смещения вполне меряют. Самые продвинутые - те, что используются
SN> в регистраторах гравитационных волн, ловят смещения порядка размера
SN> протона. На порядки более мелкие, чем в этой задаче.

0.2 кубометра - это уже глыба, а не камень. Но пусть будет такой. Но озеро - не в вакууме. В реальном озере есть волны, родники, туманы и другие испарения, на берег приходят коровы, одни - попить, другие - пописать, каких больше - неизвестно. Уровень воды всё время меняется, отношение сигнал/шум много меньше единицы. Чтобы его поднять, нужно или уменьшить шум, поместив озеро в такие же стерильные условия, в каких работают регистраторы гравитационных волн, или увеличить сигнал. Или взять камень побольше, или кидать его много раз.


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 20:21:04 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Среда 17 Января 2024 23:59, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a841f3:

AН>> Рядом с этой задачей обсуждали ещё одну: озеро или кастрюля, в
AН>> ней плавает льдина, она тает, как меняется уровень воды?

SN> Здесь даже направление изменения уровня зависит от начальных условий.
SN> Льдина в горячей воде: после того, как все устаканится, температура
SN> воды будет ниже, плотность выше - уровень будет ниже. Льдина в
SN> холодной (4 градуса Цельсия) воде. После установления равновесия
SN> температура будет ниже, плотность уменьшится - уровень
SN> увеличится. Более экзотические варианты разбирать лень :-)

Но в учебнике даётся ответ: не изменится. Задача на закон Архимеда, всё остальное в этой модели не учитывается. В любой модели учитывается не всё.


С уважением - Alexander
--- -