forum.wfido.ru  

Вернуться   forum.wfido.ru > Прочие эхи > STARPER.LIMITED

Ответ
 
Опции темы Опции просмотра
  #1  
Старый 14.05.2023, 18:22
Sergei Nickolaev
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Треп о математике 2.3

Sergei Nickolaev написал(а) к All в May 23 15:09:38 по местному времени:

Привет, All!

О сравнении мощностей: больше, меньше ...

Пока что мы говорили только о равномощности, не пытаясь определить, что такое "мощность". Как ни странно, для математики это - не сильно важный вопрос :-). Можно считать, что "мощность" - некая абстракция, насчет которой важно только какие правила для этой абстракции выполняются. Есть вариант считать, что "мощность" - класс (не множество!) всех равномощных множеств. Если хочется определить "мощность" через уже имеющиеся понятия, самый принятый вариант - стандартный представитель, всем понятное множество конкретной мощности.
Для счетных множеств такой представитель - множество натуральных чисел. Для континуальных множеств - множество вещественных чисел ...
Для объектов типа "мощность" есть забавное название - "кардиналы". Поскольку кардиналы - обобщение понятия числа элементов для конечных множеств, можно ожидать, что их свойства будут в какой-то степени похожи на свойства чисел. Так оно и есть, но отличия весьма существенны. Там очень забавная и не очень привычная арифметика - можно естественным образом определить операции сложения, умножения и возведения в степень, но свойства этих операций получаются иные ...

------
Кантор говорил о мощностях так (1895): "Мощностью или кардинальным числом множества M мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из M, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания. (. . .) Так как из каждого отдельного элемента m, когда мы отвлекаемся от качества, получается некая "единица" , то само кардинальное число оказывается множеством, образованным исключительно из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как проекция заданного множества M в наш разум".
------

Но начнем со сравнений - больше-меньше.

Множество A по мощности не больше множества B, если оно равномощно некоторому подмножеству множества B (возможно, самому B).

Отношение "иметь не большую мощность" обладает многими естественными (похожими на свойства отношения "не больше" для чисел) свойствами:
1. Если A и B равномощны, то A имеет не большую мощность, чем B. (Очевидно. Про смысл "очевидно" для математиков я говорил раньше ...)
2. Если A имеет не большую мощность, чем B, а B имеет не большую мощность, чем C, то A имеет не большую мощность, чем C. (Тоже очевидно).
3. Если A имеет не большую мощность, чем B, а B имеет не большую мощность, чем A, то они равномощны. (Это вовсе не очевидное утверждение составляет содержание теоремы Кантора - Бернштейна).
4. Для любых двух множеств A и B верно (хотя бы) одно из двух: либо A имеет не большую мощность, чем B, либо B имеет не большую мощность, чем A. (Доказательство этого факта требует так называемой "трансфинитной индукции". До объяснения того, что это за штука, мы (надеюсь) еще доберемся. Доказывать это утверждение, скорее всего, не будем.)

Утверждения 3 и 4 относятся к классу "было бы очень странно, если бы оно было не так". В их доказательствах больше техники, чем сути ...

Теорема Кантора-Бернштейна
Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.

Я советую разобрать доказательство. Хотя оно, в основном, техника, эта техника красива и изящна. Там формулы и картинки, которые мне здесь не воспроизвести, но картинки с доказательством можно подобрать здесь:
https://disk.yandex.ru/d/l95kkOnTНaGO1A

История этой теоремы (называемой также теоремой Шрёдера - Бернштейна) такова. Кантор формулирует её без доказательства в 1883 году, обещая: "К этому я ещё вернусь в одной более поздней работе и тогда выявлю своеобразный интерес этой общей теоремы". Однако этого обещания он не выполнил, и первые доказательства были даны Шрёдером (1896) и Бернштейном (1897).

Теорема Кантора - Бернштейна значительно упрощает доказательства равномощности: например, если мы хотим доказать, что бублик и шар в пространстве равномощны, то достаточно заметить, что из бублика можно вырезать маленький шар, а из шара - маленький бублик.

Теперь задачки:
1. Докажите, что все геометрические фигуры (на плоскости), содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны.
2. Докажите, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна из них равномощна отрезку.

Теперь, имея в виду теорему Кантора - Бернштейна, вернёмся к вопросу о сравнении мощностей. Для данных множеств A и B теоретически имеются четыре возможности:
1. A равномощно некоторой части B, а B равномощно некоторой части A. (В этом случае, как мы знаем, множества равномощны.)
2. A равномощно некоторой части B, но B не равномощно никакой части A. В этом случае говорят, что A имеет меньшую мощность, чем B.
3. B равномощно некоторой части A, но A не равномощно никакой части B. В этом случае говорят, что A имеет большую мощность, чем B.
4. Ни A не равномощно никакой части B, ни B не равномощно никакой части A. Этот случай на самом деле невозможен, но мы этого пока не знаем :-)

Задачка: Докажите, что счётное множество имеет меньшую мощность, чем любое бесконечное несчётное.

Чего у нас теперь не хватает, это явного примера бесконечных множеств разной мощности. Такие примеры дают теоремы Кантора: "мощность континуума больше мощности счетного множества" и более общая теорема (его же): мощность множества всех подмножеств любого множества больше мощности самого множества. Но это - на следующий раз.

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)
Ответить с цитированием
  #2  
Старый 17.05.2023, 10:42
Alexander Hohryakov
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Re: Треп о математике 2.3

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в May 23 09:07:46 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 14 Мая 2023 15:09, ты писал(а) All, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6460ed71:

SN> "кардиналы". Поскольку кардиналы - обобщение понятия числа элементов
SN> для конечных множеств, можно ожидать, что их свойства будут в какой-то
SN> степени похожи на свойства чисел. Так оно и есть, но отличия весьма
SN> существенны. Там очень забавная и не очень привычная арифметика -
SN> можно естественным образом определить операции сложения, умножения и
SN> возведения в степень, но свойства этих операций получаются иные ...

Да, иные... И свыкнуться с незнакомой (что-то проходили мелким шрифтом, да и то забылось) абстракцией - мозги скрипят и ржавчина с них осыпается).

SN> ------
SN> Кантор говорил о мощностях так (1895): "Мощностью или кардинальным
SN> числом множества M мы называем то общее понятие, которое получается
SN> при помощи нашей активной мыслительной способности из M, когда мы
SN> абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их
SN> задания. (. . .) Так как из каждого отдельного элемента m, когда мы
SN> отвлекаемся от качества, получается некая "единица" , то само
SN> кардинальное число оказывается множеством, образованным исключительно
SN> из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как
SN> проекция заданного множества M в наш разум".
SN> ------

"Число" - тоже что-то иное? Есть мощность первого, второго, третьего и т. д. порядков или как-то иначе?


С уважением - Alexander
--- -
Ответить с цитированием
  #3  
Старый 18.05.2023, 20:42
Sergei Nickolaev
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Re: Треп о математике 2.3

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в May 23 19:25:38 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Есть мощность первого, второго, третьего и
AН> т. д. порядков или как-то иначе?

Кардиналы образуют бесконечную иерархию. С не слишком простым устройством. Да еще и зависящую от выбора аксиом теории множеств ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)
Ответить с цитированием
  #4  
Старый 19.05.2023, 00:32
Alexander Hohryakov
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Re: Треп о математике 2.3

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в May 23 23:11:54 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Четверг 18 Мая 2023 19:25, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6466532d:

SN> Кардиналы образуют бесконечную иерархию. С не слишком простым
SN> устройством. Да еще и зависящую от выбора аксиом теории множеств ...

Теория множеств - абстракция, страшно далёкая от народа.


С уважением - Alexander
--- -
Ответить с цитированием
  #5  
Старый 19.05.2023, 12:43
Sergei Nickolaev
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Re: Треп о математике 2.3

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в May 23 11:18:08 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> Кардиналы образуют бесконечную иерархию. С не слишком простым
SN>> устройством. Да еще и зависящую от выбора аксиом теории множеств
SN>> ...

AН> Теория множеств - абстракция, страшно далёкая от народа.

Красоту гигантских вещей лучше видно издалека :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)
Ответить с цитированием
  #6  
Старый 19.05.2023, 14:42
Alexander Hohryakov
Guest
 
Сообщений: n/a
По умолчанию Re: Треп о математике 2.3

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в May 23 12:18:26 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Пятница 19 Мая 2023 11:18, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+64673177:

AН>> Теория множеств - абстракция, страшно далёкая от народа.

SN> Красоту гигантских вещей лучше видно издалека :-)

Более конкретное и привычное воспринимается легче, если даже оно и гигантское. Сейчас мучаюсь с задачкой по электротехнике:

Есть устройство с одним входом и одним выходом. Известна его АЧХ (амплитудно-частотная характеристика, зависимость отношения выходного напряжения ко входному от частоты входного напряжения для синусоидального сигнала). В электротехнике принято указывать параметры для синусоидальных сигналов, для остальных - преобразование Фурье. Входное напряжение не выходит за известные пределы, найти пределы выходного напряжения. Задача не хочет решаться, но она хотя бы не заумная, ее сложность понятна :-)


С уважением - Alexander
--- -
Ответить с цитированием
Ответ

Опции темы
Опции просмотра

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.

Быстрый переход


Текущее время: 02:17. Часовой пояс GMT +4.


Powered by vBulletin® Version 3.8.7
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot