турнир-теорвер

Alexander Hohryakov написал(а) к All в Mar 24 20:02:30 по местному времени:

Здpавствуй, All!

Задачка от внучки-девятиклассницы. Она решить не сумела, я тоже.

В летнем лагере проводится турнир по настольному теннису по круговой системе, то есть каждый участник играет по одному разу со всеми другими. В каждой встрече побеждает тот, кто играет лучше, при этом нет двух участников, играющих одинаково хорошо. Очерёдность игровых пар определяется жребием. Известно, что Пётр выиграл в первых пяти своих встречах. Какова вероятность того, что он выиграет и в следующей встрече тоже?

У меня появилось подозрение, что учителя считают верным ответ 1/2.


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Mar 24 13:59:02 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Задачка от внучки-девятиклассницы. Она решить не сумела, я тоже.

AН> В летнем лагере проводится турнир по настольному теннису по круговой
AН> системе, то есть каждый участник играет по одному разу со всеми
AН> другими. В каждой встрече побеждает тот, кто играет лучше, при этом
AН> нет двух участников, играющих одинаково хорошо. Очерёдность игровых
AН> пар определяется жребием. Известно, что Пётр выиграл в первых пяти
AН> своих встречах. Какова вероятность того, что он выиграет и в следующей
AН> встрече тоже?

AН> У меня появилось подозрение, что учителя считают верным ответ 1/2.

Твое подозрение вполне оправдано :-)
Во-первых, условие "выиграл в первых 5 встречах" - не влияет на результат, с ними он больше играть не будет :-). Если расположить оставшихся n (включая его) по силе игры (1 - самый слабый, n - самый сильный), то вероятность выигрыша в следующей игре определяется местом i Петра в этом ряду, а именно (число соперников слабее Петра)/(число всех соперников), то есть (i-1)/(n-1). Это - условная вероятность выигрыша Петра, при условии, что он на i-том месте. Вероятность оказаться на любом конкретном месте = 1/n. Сумма ((i-1)/(n-1))*(1/n) по i от 1 до n считается легко (там сумма членов арифметической прогрессии умноженная на константу) и оказывается равной 1/2
:-)))

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Mar 24 18:20:12 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Четверг 28 Марта 2024 13:59, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6605521b:

AН>> В летнем лагере проводится турнир по настольному теннису по
AН>> круговой системе, то есть каждый участник играет по одному разу
AН>> со всеми другими. В каждой встрече побеждает тот, кто играет
AН>> лучше, при этом нет двух участников, играющих одинаково хорошо.
AН>> Очерёдность игровых пар определяется жребием. Известно, что Пётр
AН>> выиграл в первых пяти своих встречах. Какова вероятность того,
AН>> что он выиграет и в следующей встрече тоже?

AН>> У меня появилось подозрение, что учителя считают верным ответ
AН>> 1/2.

SN> Твое подозрение вполне оправдано :-)
SN> Во-первых, условие "выиграл в первых 5 встречах" - не влияет на
SN> результат, с ними он больше играть не будет :-). Если расположить
SN> оставшихся n (включая его) по силе игры (1 - самый слабый, n - самый
SN> сильный), то вероятность выигрыша в следующей игре определяется местом
SN> i Петра в этом ряду, а именно (число соперников слабее Петра)/(число
SN> всех соперников), то есть (i-1)/(n-1). Это - условная вероятность
SN> выигрыша Петра, при условии, что он на i-том месте. Вероятность
SN> оказаться на любом конкретном месте = 1/n. Сумма ((i-1)/(n-1))*(1/n)
SN> по i от 1 до n считается легко (там сумма членов арифметической
SN> прогрессии умноженная на константу) и оказывается равной 1/2
SN> :-)))

Я тоже так думал, но для проверки посчитал все варианты в примере попроще.

Три участника, Пётр выиграл первую встречу, какова вероятность выигрыша второй?

Тройки цифр, первыя - рейтинг Петра, вторая - его первого соперника, третья - второго. Шесть вариантов:

123
132
213
231
312
321

Комбинации 123,132,231 - Пётр проиграл первую встречу, их не учитываем. Остаётся 213 - проигрыш во второй встрече и 312, 321 - выигрыш во второй встрече. Вероятность выигрыша 2/3


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Mar 24 20:11:30 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Четверг 28 Марта 2024 13:59, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6605521b:

SN> Во-первых, условие "выиграл в первых 5 встречах" - не влияет на
SN> результат, с ними он больше играть не будет :-).

Но он с ними играл, а вероятность выйти в шестой тур тем выше, чем выше рейтинг Петра.

SN> Если расположить
SN> оставшихся n (включая его) по силе игры (1 - самый слабый, n - самый
SN> сильный), то вероятность выигрыша в следующей игре определяется местом
SN> i Петра в этом ряду, а именно (число соперников слабее Петра)/(число
SN> всех соперников), то есть (i-1)/(n-1). Это - условная вероятность
SN> выигрыша Петра, при условии, что он на i-том месте. Вероятность
SN> оказаться на любом конкретном месте = 1/n. Сумма ((i-1)/(n-1))*(1/n)
SN> по i от 1 до n считается легко (там сумма членов арифметической
SN> прогрессии умноженная на константу) и оказывается равной 1/2
SN> :-)))




Пообсуждав задачу на семейной шаббатней трапезе, вспомнили задачу про три шкатулки и Якубовича, известную как парадокс Монти Холла. Есть между ними сходство. Перебрав несколько вариантов, выдвинули предположение, что ответ (N+1)/(N+2), где N - число выигранных партий. Но доказать это пока не можем.


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Mar 24 22:32:40 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Четверг 28 Марта 2024 13:59, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6605521b:

SN> Во-первых, условие "выиграл в первых 5 встречах" - не влияет на
SN> результат, с ними он больше играть не будет :-). Если расположить
SN> оставшихся n (включая его) по силе игры (1 - самый слабый, n - самый
SN> сильный), то вероятность выигрыша в следующей игре определяется местом
SN> i Петра в этом ряду, а именно (число соперников слабее Петра)/(число
SN> всех соперников), то есть (i-1)/(n-1). Это - условная вероятность
SN> выигрыша Петра, при условии, что он на i-том месте. Вероятность
SN> оказаться на любом конкретном месте = 1/n. Сумма ((i-1)/(n-1))*(1/n)
SN> по i от 1 до n считается легко (там сумма членов арифметической
SN> прогрессии умноженная на константу) и оказывается равной 1/2
SN> :-)))

Кажется, нашёл обоснованный ответ.

Если в турнире (или в первом его туре) два участника, вероятность того, что у Петра самый высокий рейтинг равна 1/2. Если три участника (турнир до второго тура включительно) вероятность его наивысшего рейтинга = 1/3. N участников - 1/N.
Вероятность того, что Пётр выиграет 5 партий (турнир с шестью участниками) = 1/6. Вероятность того, что он выиграет 6 партий - 1/7. Вероятность того, что он выиграет шестую партию при условии, что выиграл предыдущие = (1/7)/(1/6) = 6/7

Да, теория вероятности - непростая, но интересная штука с большим количеством ловушек.


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Mar 24 00:51:30 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Я тоже так думал, но для проверки посчитал все варианты в примере
AН> попроще.

AН> Три участника, Пётр выиграл первую встречу, какова вероятность
AН> выигрыша второй?

AН> Тройки цифр, первыя - рейтинг Петра, вторая - его первого соперника,
AН> третья - второго. Шесть вариантов:

AН> 123
AН> 132
AН> 213
AН> 231
AН> 312
AН> 321

AН> Комбинации 123,132,231 - Пётр проиграл первую встречу, их не
AН> учитываем. Остаётся 213 - проигрыш во второй встрече и 312, 321 -
AН> выигрыш во второй встрече. Вероятность выигрыша 2/3

Я пересчитал, немного другим способом, чем ты. Ты прав, а я сделал необоснованное предположение, которое казалось очевидным. А зря ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Mar 24 01:20:28 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Кажется, нашёл обоснованный ответ.

AН> Если в турнире (или в первом его туре) два участника, вероятность
AН> того, что у Петра самый высокий рейтинг равна 1/2. Если три участника
AН> (турнир до второго тура включительно) вероятность его наивысшего
AН> рейтинга = 1/3. N участников - 1/N. Вероятность того, что Пётр
AН> выиграет 5 партий (турнир с шестью участниками) = 1/6. Вероятность
AН> того, что он выиграет 6 партий - 1/7. Вероятность того, что он
AН> выиграет шестую партию при условии, что выиграл предыдущие =
AН> (1/7)/(1/6) = 6/7

Здесь нет доказательства того, что вероятность выиграть первые 5 партий в турнире с 6 участиниками и в турнире с 7 участниками - одна и та же. Скорее всего, это так и окажется, но сейчас считать - по времени поздновато, почти пол-второго ночи ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Mar 24 18:36:58 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 31 Марта 2024 01:20, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+66089141:


SN> Здесь нет доказательства того, что вероятность выиграть первые 5
SN> партий в турнире с 6 участиниками и в турнире с 7 участниками - одна и
SN> та же. Скорее всего, это так и окажется, но сейчас считать - по
SN> времени поздновато, почти пол-второго ночи ...

Спрошу сына. Он на компьютере просчитал кучу вариантов.


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 24 12:19:56 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> Здесь нет доказательства того, что вероятность выиграть первые 5
SN>> партий в турнире с 6 участиниками и в турнире с 7 участниками -
SN>> одна и та же. Скорее всего, это так и окажется, но сейчас считать
SN>> - по времени поздновато, почти пол-второго ночи ...

AН> Спрошу сына. Он на компьютере просчитал кучу вариантов.

Я, таки посчитал, благо считается в пол-строки :-). Действительно так. Осталось доказать, что эти вероятности (или, хотя бы их отношение) не изменятся при увеличении числа участников. Потому, как мы уже увидели, даже очень правдоподобные предположения стоит проверять :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 24 19:18:48 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Вторник 02 Апреля 2024 12:19, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+660bcea2:

SN> Я, таки посчитал, благо считается в пол-строки :-). Действительно так.
SN> Осталось доказать, что эти вероятности (или, хотя бы их отношение) не
SN> изменятся при увеличении числа участников. Потому, как мы уже увидели,
SN> даже очень правдоподобные предположения стоит проверять :-)

Только что проводил гостей, было не до детских задачек, решали взрослую: сочиняли датчик противопожарной сигнализации. Если интересно, могу рассказать.


С уважением - Alexander
--- -