Треп о математике 2.2

Alexander Hohryakov написал(а) к Michael Rasputin в Apr 23 18:01:14 по местному времени:

Здpавствуй, Michael!

Воскресенье 30 Апреля 2023 16:52, ты писал(а) Sergei Nickolaev, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6078/80.70+644e7323:

AН>>>> из них. В итоге получилось такое: Y=Ц(X)+2Д(X), где Ц и Д -
AН>>>> соответственно, целая и дробная части числа.

MR>>> ну при х=0 принимает значение 0, а второй раз когда ?

SN>> При x=-0.5, вроде бы ...

MR> а, ну да ... -1+2х0,5=0 ...

Таки не ну да: Int(-0.5)=0, Frac(-0.5)=-0/5


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к All в Apr 23 16:12:48 по местному времени:

Привет, All!

Продолжаем: равномощность

Утверждение: Отрезок [0, 1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц.

В самом деле, каждое число x из [0, 1] записывается в виде бесконечной двоичной дроби. Первый знак этой дроби равен 0 или 1 в зависимости от того, попадает ли число x в левую или правую половину отрезка. Чтобы определить следующий знак, надо выбранную половину поделить снова пополам и посмотреть, куда попадёт x, и т. д.
Это же соответствие можно описать в другую сторону: последовательности x0x1x2 ... соответствует число, являющееся суммой ряда
x0/2 + x1/4 + x2/8 +...
Описанное соответствие пока что не совсем взаимно однозначно: двоично-рациональные числа (дроби вида m/2^n) имеют два представления. Например, число 3/8 можно записать как в виде 0,011000 ..., так и в виде 0,010111 ... Соответствие станет взаимно однозначным, если отбросить дроби с единицей в периоде (кроме дроби 0,1111 . . ., которую надо оставить). Но таких дробей счётное число, поэтому на мощность это не повлияет.

Теперь всё готово для доказательства удивительного факта:
Квадрат (со внутренностью) равномощен отрезку.

Этот результат был получен в 1877 году немецким математиком Георгом Кантором и удивил его самого, поскольку противоречил интуитивному ощущению "размерности" (квадрат двумерен, поэтому вроде бы должен содержать больше точек, чем одномерный отрезок). Вот что Кантор писал Дедекинду (20 июня 1877 года), обсуждая вопрос о равномощности пространств разного числа измерений: "Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя на протяжении ряда лет я придерживался противоположного мнения".
В одном из ответных писем Дедекинд отмечает, что результат Кантора не лишает смысла понятие размерности, поскольку можно рассматривать лишь непрерывные в обе стороны соответствия, и тогда пространства разной размерности можно будет различить. Эта гипотеза оказалось верной, хотя не такой простой; первые попытки её доказать, в том числе одна из статей Кантора, содержали ошибки, и только спустя тридцать(!) лет голландский математик Л.Брауэр дал правильное доказательство. Впрочем, отсутствие непрерывного в обе стороны соответствия между отрезком и квадратом доказать несложно; трудности начинаются в больших размерностях. (Заметим также, что существует непрерывное отображение отрезка в квадрат, которое проходит через любую точку квадрата. Оно называется "кривой Пеано".)

Доказательство:
Квадрат равномощен множеству [0, 1] х [0, 1] пар действительных чисел, каждое из которых лежит на отрезке [0, 1].
Мы уже знаем, что вместо чисел на отрезке можно говорить о последовательностях нулей и единиц. Осталось заметить, что паре последовательностей нулей и единиц <x0x1x2 ... , y0y1y2 ...> можно поставить в соответствие последовательность-смесь x0y0x1y1x2y2 ... и что это соответствие будет взаимно однозначным.

Из этого утверждения легко получить много других утверждений про равномощность геометрических объектов: круг равномощен окружности, прямая равномощна плоскости и т. п.
Можно также заметить, что пространство (точки которого задаются тремя координатами <x, y, z>) равномощно плоскости (надо закодировать пару <x, y> одним числом), и, следовательно, прямой. То же самое можно проделать и для пространств большей размерности.

Задачка 1. Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно R (множеству всех действительных чисел).
Задачка 2. Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей
действительных чисел равномощно R.

Отметим, что мы пока не умеем доказывать, что множество действительных чисел (или множество бесконечных последовательностей нулей и единиц) несчётно.
Мощность множества действительных чисел называют мощностью континуума.
На эту тему - позже. Сначала разберемся со сравнением мощностей (больше-меньше).

В следующий раз ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 18:53:54 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>>> При x=-0.5, вроде бы ...

MR>> а, ну да ... -1+2х0,5=0 ...

AН> Таки не ну да: Int(-0.5)=0, Frac(-0.5)=-0/5
Такое хозяйство осмысленно, если, заодно, Int(1.5)=2 :-). Если для положительных и отрицательных - в разные стороны - будет масса неприятностей.

Там, где я заглянул в определения, дробная часть - величина неотрицательная, т.е. дробная часть(-0.5) = 0.5, а не -0.5. Целая часть - целое число меньшее или равное. Разумно, если число равно целой части плюс дробная часть. Если целая часть(-0.5) = -1, то дробная часть(-0.5)=0.5 для того, чтобы число было равно сумме целой и дробной частей. -0.5 = -1+0.5.
Но определения таких штук - неоднозначны, определения могут быть разными, с разными последствиями для здравого смысла определяющего ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Vladimir Fyodorov в Apr 23 19:22:06 по местному времени:

Привет, Vladimir!

SN>> После дачи наверно похоже на мое "после бани", когда я потягиваю
SN>> пиво и выбираю чем заняться: потрепаться в ФИДО, посмотреть кино
SN>> или послушать музыку ;-).

VF> Типа того, но суровее :)

Посуровее, это насчет того, что потягивать (типа водочка, коньяк, виски, ром, чистый спирт https://youtu.be/SPRoi8JgnE8) или выбор, чем заняться :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Vladimir Fyodorov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 23 19:53:00 по местному времени:

Разнообразно приветствую!

SN>>> После дачи наверно похоже на мое "после бани", когда я потягиваю
SN>>> пиво и выбираю чем заняться: потрепаться в ФИДО, посмотреть кино
SN>>> или послушать музыку ;-).
VF>> Типа того, но суровее :)
SN> Посуровее, это насчет того, что потягивать (типа водочка, коньяк,
SN> виски, ром, чистый спирт https://youtu.be/SPRoi8JgnE8) или выбор,
SN> чем заняться :-)

Первый вариант :)

--
Всяческих благ. Искренне Ваш, Vladimir Fyodorov, эсквайр.
... Пропала несущая? Заплатите налоги!
--- Нotdoged/2.13.5/Android

Michael Rasputin написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 20:34:54 по местному времени:

Приветствую Alexander !

30 апр 23 18:01, Alexander Нohryakov сообщал Michael Rasputin:


MR>>>> ну при х=0 принимает значение 0, а второй раз когда ?

SN>>> При x=-0.5, вроде бы ...

MR>> а, ну да ... -1+2х0,5=0 ...

AН> Таки не ну да: Int(-0.5)=0, Frac(-0.5)=-0/5

таки да :
------------
В математике, целая часть вещественного числа x - округление x до ближайшего целого в меньшую сторону.
------------
int(-0.5)=-1

специально проверил на Online FREE BASIC Compiler IDE:

print int(-0.5)

-1



С уважением,
Михаил.

я слушаю:
... Thinking: █████░░░░░░░ 37% done
--- ----------------------------

Alexander Hohryakov написал(а) к Michael Rasputin в Apr 23 21:15:56 по местному времени:

Здpавствуй, Michael!

Воскресенье 30 Апреля 2023 20:34, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6078/80.70+644ea8c2:

MR> таки да :
MR> ------------
MR> В математике, целая часть вещественного числа x - округление x до
MR> ближайшего целого в меньшую сторону.
MR> ------------
MR> int(-0.5)=-1

MR> специально проверил на Online FREE BASIC Compiler IDE:

MR> print int(-0.5)

MR> -1

Мне онлайн-рисовалка функций нарисовала такую функцию INT(X)+2FRAC(X)
http://pics.rsh.ru/img/INT2FRAC_4vntdqvb.png
И я ей поверил, и начал пририсовывать сдвиги отрицательной части. Зря.


С уважением - Alexander
--- -

Vladimir Fyodorov написал(а) к Michael Rasputin в May 23 09:21:05 по местному времени:

Разнообразно приветствую тебя, Michael!

30 Апреля 2023, Michael Rasputin писАл к Vladimir Fyodorov следующее:

SN>>> y=x^2 принимает значение 0 один раз (при x=0), а не два, как
SN>>> требовалось в задачке ...
VF>> Ну вычесть любое число, типа y=x^2-1...
MR> ну теперь оно один раз принимает -1 ;)

Зато нуль - два раза :)

Всяческих благ. Искренне Ваш, Vladimir Fyodorov, эсквайр.
... Отправь немножко мне ююков мылом
--- GoldED+/OSX 1.1.5-b20230221

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в May 23 12:14:10 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 30 Апреля 2023 18:53, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+644e936e:

SN> Там, где я заглянул в определения, дробная часть - величина
SN> неотрицательная, т.е. дробная часть(-0.5) = 0.5, а не -0.5. Целая
SN> часть - целое число меньшее или равное. Разумно, если число равно
SN> целой части плюс дробная часть. Если целая часть(-0.5) = -1, то
SN> дробная часть(-0.5)=0.5 для того, чтобы число было равно сумме целой и
SN> дробной частей. -0.5 = -1+0.5. Но определения таких штук -
SN> неоднозначны, определения могут быть разными, с разными последствиями
SN> для здравого смысла определяющего ...

"Счастье - это когда тебя понимают". Неужто нельзя было договориться?
Впрочем, и в электротехнике "открытый контакт" - тот, который не проводит ток, а "открытый ключ" - тот, который проводит. Уже лет сто как.


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в May 23 12:22:46 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 30 Апреля 2023 16:12, ты писал(а) All, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+644e749f:


SN> Доказательство:
SN> Квадрат равномощен множеству [0, 1] х [0, 1] пар действительных чисел,
SN> каждое из которых лежит на отрезке [0, 1].

Разве утверждение "множество чисел равномощно множеству пар чисел" не доказано ещё на прошлой неделе?


С уважением - Alexander
--- -