Треп о математике 2.2

Sergei Nickolaev написал(а) к All в Apr 23 08:50:50 по местному времени:

Привет, All!

Счетные множества: продолжение

Утверждение: Если множество A бесконечно, а множество B конечно или счётно, то объединение (A U B) равномощно A.
Интуиция говорит, что так оно и должно быть, можно было бы и не возиться с доказательством, но прием, который в нем используется, можно с успехом использовать и для решения более конкретных задачек :-)
Можно считать, что B не пересекается с A (пересечение можно выбросить из B, останется по-прежнему конечное или счётное множество).

Выделим в A счётное подмножество P; остаток обозначим через Q. Тогда нам надо доказать, что (B U P U Q) равномощно (P U Q).
Поскольку (B U P) и P оба счётны, между ними существует взаимно однозначное соответствие. Его легко продолжить до соответствия между (B U P U Q) и (P U Q) (каждый элемент множества Q соответствует сам себе).

Задачка 1 (для разминки). Примените эту конструкцию и явно укажите соответствие между отрезком [0, 1] и полуинтервалом [0, 1).

Используя эту конструкцию нетрудно показать, что прямая, все промежутки на прямой (отрезки, интервалы, полуинтервалы), лучи, их конечные или счётные объединения и т. п. равномощны друг другу.

Задачка 2. Докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости.

Задачка 3. Докажите, что полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от некоторой прямой) равномощна плоскости. (Это верно независимо от того, включаем мы граничную прямую в полуплоскость или нет.)

Немецкий математик Р. Дедекинд предложил такое определение бесконечного множества: множество бесконечно, если оно равномощно некоторому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством.

Задачка 4. Покажите, что указанное Дедекиндом свойство действительно определяет
бесконечные множества.

Определение Дедекинда интересно тем, что обходится без понятий "конечное" и "бесконечное" :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 10:36:18 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Кстати, о нерешённых в девятом классе задачах. Для разнообразия по
AН> физике. Задача такая: найти коэффициент трения деревянного бруска о
AН> стол, используя только карандаш и бумагу в клеточку. (столы в кабинете
AН> физики приколочены к полу, вариант с наклоном стола, который многим
AН> приходит в голову, не канает)

Да, я помню, ты расказывал :-)

AН> Когда знаешь решение, она кажется такой простой...

Насчет задачки о функции: ее изящное решение обладает тем же свойством. Менее изящные решения строятся довольно просто из вполне общих соображений ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 23 12:10:42 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Суббота 29 Апреля 2023 10:36, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+644cc9fa:

AН>> Когда знаешь решение, она кажется такой простой...

SN> Насчет задачки о функции: ее изящное решение обладает тем же
SN> свойством.

Думал я над ним долго. Сын - полминуты: "а над чем там думать?!" Оба нашли одинаковое решение.
Букву Т пообсуждали, но до строгого доказательства не дошли: чайник вскипел.

SN> Менее изящные решения строятся довольно просто из вполне
SN> общих соображений ...

Надо подумать... :-)


С уважением - Alexander
--- -

Michael Rasputin написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 15:59:32 по местному времени:

Приветствую Alexander !

29 апр 23 12:10, Alexander Нohryakov сообщал Sergei Nickolaev:


AН> Думал я над ним долго. Сын - полминуты: "а над чем там думать?!" Оба
AН> нашли одинаковое решение.

так каково решение, если непрерывные (типа модульных и четных) не подходят ?

С уважением,
Михаил.

я слушаю:
... Некрасов был прикован к постели раком
--- ----------------------------

Alexander Hohryakov написал(а) к Michael Rasputin в Apr 23 16:45:56 по местному времени:

Здpавствуй, Michael!

Суббота 29 Апреля 2023 15:59, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6078/80.70+644d151e:

AН>> Думал я над ним долго. Сын - полминуты: "а над чем там думать?!"
AН>> Оба нашли одинаковое решение.

MR> так каково решение, если непрерывные (типа модульных и четных) не
MR> подходят ?

Начал я с Y=|X|, (картинка такая: \/ ) но тут не подходит точка (0,0). Вот если бы левую половину развернуть, это было бы хорошо. (Примерно так: // ). Но развернуть бесконечной длины луч не получится, пришла в голову идея покромсать его на куски конечной длины и развернуть каждый из них. В итоге получилось такое: Y=Ц(X)+2Д(X), где Ц и Д - соответственно, целая и дробная части числа. Сын выдал то же самое, но другими словами: Y(x) = Frac(x)+Int(x/2).


С уважением - Alexander
--- -

Vladimir Fyodorov написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 20:19:22 по местному времени:

Разнообразно приветствую!

AН>>> Думал я над ним долго. Сын - полминуты: "а над чем там думать?!"
AН>>> Оба нашли одинаковое решение.
MR>> так каково решение, если непрерывные (типа модульных и
MR>> четных) не
MR>> подходят ?
AН> Начал я с Y=|X|, (картинка такая: \/ ) но тут не подходит точка
AН> (0,0). Вот если бы левую половину развернуть, это было бы хорошо.
AН> (Примерно так: // ). Но развернуть бесконечной длины луч не
AН> получится, пришла в голову идея покромсать его на куски конечной
AН> длины и развернуть каждый из них. В итоге получилось такое:
AН> Y=Ц(X)+2Д(X), где Ц и Д - соответственно, целая и дробная части
AН> числа. Сын выдал то же самое, но другими словами: Y(x) =
AН> Frac(x)+Int(x/2).

Извините, я тут с дачи, возможно, неправильно понял задачу :)

Но чем не устраивает, например, y = sec x ?

--
Всяческих благ. Искренне Ваш, Vladimir Fyodorov, эсквайр.
... Пропала несущая? Заплатите налоги!
--- Нotdoged/2.13.5/Android

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 21:00:02 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> Начал я с Y=|X|, (картинка такая: \/ ) но тут не подходит точка (0,0).

Но это можно легко исправить ;-)

Y=X+1 для X = 0, 1, 2, ...
Y=|X| для остальных X

Y(-1) = Y(0) = 1
Y(-2) = Y(1) = 2
...
Для нецелых X: Y(-X)=Y(X)

Это пример неизящного решения в лоб, на базе равномощности соответствующих множеств.

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Vladimir Fyodorov в Apr 23 21:24:02 по местному времени:

Привет, Vladimir!

VF> Извините, я тут с дачи, возможно, неправильно понял задачу :)

Именно так, неправильно понял

VF> Но чем не устраивает, например, y = sec x ?

Определена не на всей числовой оси. Принимает каждое свое значение бесконечно много раз.

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Vladimir Fyodorov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 23 22:25:21 по местному времени:

Разнообразно приветствую!

SN> Именно так, неправильно понял
VF>> Но чем не устраивает, например, y = sec x ?
SN> Определена не на всей числовой оси. Принимает каждое свое значение
SN> бесконечно много раз.

Ну а если самое простое, типа y = x^2 ? Или всё равно не так понял? Не удивлюсь, ибо всё ещё после дачи :)

--
Всяческих благ. Искренне Ваш, Vladimir Fyodorov, эсквайр.
... Пропала несущая? Заплатите налоги!
--- Нotdoged/2.13.5/Android

Michael Rasputin написал(а) к Alexander Hohryakov в Apr 23 22:21:00 по местному времени:

Приветствую Alexander !

29 апр 23 16:45, Alexander Нohryakov сообщал Michael Rasputin:

AН> из них. В итоге получилось такое: Y=Ц(X)+2Д(X), где Ц и Д -
AН> соответственно, целая и дробная части числа.

ну при х=0 принимает значение 0, а второй раз когда ?

С уважением,
Михаил.

я слушаю:
... "Уpа! Заpаботало!" (С) Кот Матpоскин.
--- ----------------------------