Треп о математике 1.5

Sergei Nickolaev написал(а) к All в Mar 23 15:11:08 по местному времени:

Привет, All!

Пока задачки еще остаются не совсем решенными, я расскажу, на чем сломалась наивная теория множеств. И почему теорию множеств спасали, хотя это было нелегко :-).

Итак, основная идея наивной теории множеств состояла в том, что элементами множеств могут быть любые (математические) объекты и любое условие на элементы порождает множество. Очень быстро было обнаружено, что такой подход порождает противоречивую (и, следовательно, совершенно бесполезную) теорию.

Пример 1:
Элементы могут быть любыми математическими объектами, значит множества могут быть элементами. Условие - любое, условие "все" - годится. Рассматривается множество всех множеств.
Для большинства множеств, которые возникают при рассмотрении различных задач, множество не является своим собственным элементом. Для множества всех множеств ситуация явно другая: раз уж всех множеств, то оно само (оно же множество!) обязано быть своим элементом.
Значит все множества разделяются на две категории: множества, которые не являются собственными элементами (назовем их "обычными"), и множества, которые являются своими элементами (назовем их "необычными"). Ясно, что любое множество либо содержит себя в качестве элемента, либо не содержит себя в качестве элемента.
Множество всех множеств по этому условию разделяется на два (непересекающихся) подмножества - "обычные" и "необычные".
Рассмотрим множество всех "обычных" множеств. Оно какое - "обычное" или "необычное"?
Если оно - "обычное", то оно должно быть элементом множества всех "обычных" множеств, то есть быть своим элементом. Но, в этом случае, ему положено быть "необычным" - содержащим само себя в качестве элемента. Из предположения, что множество всех "обычных" множеств является необычным, точно так же, следует, что оно "обычное". ПРОТИВОРЕЧИЕ!.
Это множество не может быть ни "обычным", ни "необычным". Но других среди элементов множества всех множеств быть не может. Теория множеств - противоречива, а значит - бесполезна. (не буду пока распространяться на эту тему, но в противоречивой теории доказуемо любое, формулируемое в этой теории утверждение, нахрен такая теория может быть нужна).

Пример 2: Ситуация, когда элементы - очень обычные, в этом случае - натуральные числа. Рассмотрим набор символов: все буквы русского алфавита, плюс знаки препинания, плюс пробел, плюс цифры 0...9.
Рассмотрим множество строк длины не более 200 из таких символов. Ясно, что таких строк - конечное (хотя и не очень маленькое) число. Абсолютное большинство таких строк - совершенно бессмыслены. Небольшая часть из осмысленных строк определяет конкретные натуральные числа. Например: 50; положительный квадратный корень из 9; наименьшее натуральное число, не превосходящее 1000.
Поскольку общее число строк длины не больше 200 из этих символов - конечно, то множество натуральных чисал, которые могут быть записаны, как строки из этих символов длиной не более 200 - конечное.
Остается бесконечное множество натуральных чисел, которые не могут быть записаны таким образом. Натуральные числа обладают таким свойством: любое подмножество множества натуральных чисел содержит (единственный!) наименьший элемент (пример: в бесконечном множестве нечетных натуральных чисел таким элементом является 1).
Посмотрим на такую фразу: "наименьшее натуральное число, которое не может быть записано последовательностью длиной не более 200 из символов русского алфавита, плюс знаки препинания, плюс цифры 0...9". С одной стороны, такая запись определяет натуральное число, которое нельзя записать строкой длиной не более 200 символов. С другой стороны эта запись имеет длину меньше 200. ПРОТИВОРЕЧИЕ!
(Наивная) теория множеств непреодолимо противоречива!

К тому моменту, когда была установлена противоречивость теории множеств, эта теория успела стать основой для большей части математики. Естественно, что математики приложили максимальные усилия для преодоления этой ситуации. Разумеется выход был найден (не один). Согласились с тем, что элементы множеств - не что угодно. И с тем, что не любое условие на элементы задает множество. Множества стали описываться набором аксиом. (А то, что аксиомам не удовлетворяет - не множество).
Таких наборов было придумано несколько. Наиболее используемый набор аксиом - аксиомы Цермелло-Френкеля. С этим набором тоже связан курьез - через небольшое время было обнаружено утверждение, которое используется (и не обойтись!) в доказательстве важных для математики результатов, и которое не выводится из аксиом Цермелло-Френкеля и не может быть опровергнуто на основе этих аксиом.
В то же время с использованием этого утверждения были доказаны очень странные результаты (не приводящие к противоречиям, однако просто противоречащие "здравому смыслу".
Речь идет о знаменитой "аксиоме выбора". В конце концов, математики просто привыкли к следствиям их этой аксиомы и рассматривают ее как неотъемлемую часть аксиоматики теории множеств.
Еще позже одно утверждение, которое автор теории множеств пытался (безуспешно) доказать, оказалось независимо от аксиом. К счастью, это утверждение совершенно неважно для приложений. Но оно еще раз показало, что теория множеств категорически не может выступать в качестве интуитивно ясной и понятной основы математики (а претендовала!), а является лишь одной из многих математических теорий, да еще и существует в нескольких вариантах.

У меня в планах есть рассказать об аксиомах теории множеств без формализмов (и формул). Но для этого нужно сильно подумать, как ...

Еще в планах есть рассказать о теории моделей, которая черезвычайна важна для понимания взаимосвязи между разными математеческими теориями. И ее несколько расширенное понимание описывает взаимоотношения между математикой и естествознанием. Но это требует еще большего количества раздумий ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)