Треп о математике 2.1

Sergei Nickolaev написал(а) к All в Apr 23 12:58:42 по местному времени:

Привет, All!

Продолжение.

Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.
Для конечных множеств это означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для бесконечных множеств.
Например, отрезки [0, 1] и [0, 2] равномощны, поскольку отображение x -> 2x осуществляет искомое соответствие.

Простые задачки:

1. Докажите, что любые два интервала (a, b) и (c, d) на прямой равномощны.
2. Докажите, что любые две окружности на плоскости равномощны. Докажите, что любые два круга на плоскости равномощны.
3. Докажите, что полуинтервал [0, 1) равномощен полуинтервалу (0, 1].

Задачка чуть сложнее: доказать, что интервал (0, 1) и луч (0,+бесконечность) равномощны.
Соответствие x -> 1/x - взаимно однозначное для (0, 1) и (1,+бесконечность), а соответствие x -> (x-1) - взаимно однозначное для (1,+бесконечность) и (0,+бесконечность), получаем: x -> (1/x)-1 - искомое взаимно однозначное соответствие.

Еще задачки разной сложности:

4. Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда.
5. Возьмем четыре цифры: 0, 1, 2, 3. Множество бесконечных последовательностей из этих цифр равномощно множеству бесконечных последовательностей нулей и единиц.
6. Множество бесконечных последовательностей цифр 0, 1, 2 равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1.
7. Обобщение задачи 4: множество подмножеств любого множества W (оно обычно обозначается P(W)) равномощно множеству всех функций, которые ставят в соответствие каждому элементу из W одно из чисел 0 и 1.

Немного теоретического трепа: в математике есть понятие "отношение". Его можно определить строго, но это - потом. По сути это - утверждение об упорядоченной паре элементов некоторого множества, которое для каких-то пар может быть истинно, для каких-то - ложно. (на самом деле я определил то, что называется "двуместным отношением", в математике рассматриваются и многоместные, но пока они нам не нужны).
Примеры: равенство для натуральных чисел (=), 3=5 - ложно, 7=7 - истинно; отношение "больше" (>) для натуральных чисел, 2>5 - ложно, 5>2 - истинно, 2>2 - ложно.
"Равномощность" - отношение между множествами. Относится к категории "отношений эквивалентности".
Отношение ~ называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими тремя свойствами:
1. Рефлексивность (всегда верно x~x).
2. Симметричность (если верно x~y, то верно и y~x).
3. Транзитивность (из x~y и y~z следует, что x~z).
Примеры отношений эквивалентности: равенство чисел; подобие фигур на плоскости; одинаковый остаток от деление на 3 для натуральных чисел.
А вот отношение "скрещиваемость" для (популяций) живых организмов отношением эквивалентности не является, почему понятие вида не может быть четко определено на основании этого отношения ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)