Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 23 15:48:22 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Понедельник 10 Апреля 2023 12:58, ты писал(а) All, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+6433f1a2:


SN> 1. Докажите, что любые два интервала (a, b) и (c, d) на прямой
SN> равномощны. 2. Докажите, что любые две окружности на плоскости
SN> равномощны. Докажите, что любые два круга на плоскости равномощны. 3.
SN> Докажите, что полуинтервал [0, 1) равномощен полуинтервалу (0, 1].

Эти задачки я помню из "Детской энциклопедии". К ним была картинка: лампа, по-научному "точечный источник света", отрезок, (окружность или круг) и тени от них. Каждой точке отрезка (окружности или круга) соответствует точка тени.

SN> Задачка чуть сложнее: доказать, что интервал (0, 1) и луч
SN> (0,+бесконечность) равномощны. Соответствие x -> 1/x - взаимно
SN> однозначное для (0, 1) и (1,+бесконечность), а соответствие x -> (x-1)
SN> - взаимно однозначное для (1,+бесконечность) и (0,+бесконечность),
SN> получаем: x -> (1/x)-1 - искомое взаимно однозначное соответствие.

SN> Еще задачки разной сложности:

SN> 4. Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц равномощно
SN> множеству всех подмножеств натурального ряда.
SN> 5. Возьмем четыре цифры:
SN> 0, 1, 2, 3. Множество бесконечных последовательностей из этих цифр
SN> равномощно множеству бесконечных последовательностей нулей и
SN> единиц.

А тут мне вспомнились системы счисления. Множество чисел, записанных в десятичной, двоичной, четверичной системах - одно и то же множество.

SN> 6. Множество бесконечных последовательностей цифр 0, 1, 2
SN> равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1. 7.

А это кажется настолько само собой разумеющимся, что в доказательстве не нуждается.

SN> Обобщение задачи 4: множество подмножеств любого множества W (оно
SN> обычно обозначается P(W)) равномощно множеству всех функций, которые
SN> ставят в соответствие каждому элементу из W одно из чисел 0 и 1.


С уважением - Alexander
--- -