Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Apr 23 14:18:40 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Пятница 31 Марта 2023 15:08, ты писал(а) All, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+64275b30:

SN> Самое важное насчет количества элементов конечных множеств: для
SN> выявления равенства количества элементов в двух множествах вовсе не
SN> обязательно пересчитывать элементы. Вместо этого можно построить
SN> взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств. То
SN> есть, каждому элементу первого множества сопоставить ровно один
SN> элемент второго (каждому - свой отдельный) и наоборот.

Попытаюсь.

SN> 1. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна чёрная. Чего больше -
SN> треугольников с вершинами в белых точках или четырёхугольников, у
SN> которых одна вершина чёрная, а остальные три белые?

Для каждого белого треугольника чёрная точка между двумя белыми. Если заменить отрезок между этими белыми точками на ломаную белая-чёрная-белая, каждому треугольнику будет соответствовать четырехугольник.

SN> 2. Докажите, что последовательностей длины n, составленных из нулей и
SN> единиц, столько же, сколько подмножеств у множества {1, 2, . . . , n}.

Две строки, одна под другой.
1,2,3,4,5....n
,*,*,*,....n
* означает 1 или 0. Если 1, то соответствующая цифра входит в первое подмножество, если 0, то не входит. Соответствие установлено.

SN> 3. Пусть W - непустое конечное множество. Докажите, что подмножеств
SN> множества W, имеющих чётную мощность, столько же, сколько имеющих
SN> нечётную мощность.

Подмножество из одного элемента имеет два подмножества: состоящее из этого самого элемента (одна штука, нечётное число элементов) и пустое множество (ноль - чётное число) Добавление каждого элемента удваивает число подмножеств: остаются те, что уже были и те, что уже были плюс новый элемент. Среди тех, что уже были, количества подмножеств, имеющих чётную и нечётную мощность, равны. Среди тех, к которым добавился новый элемент, тоже равны, поскольку чётное число + 1 = нечётное, а нечётное +1 = чётное.

SN> 4. Докажите, что способов расстановки скобок (указывающих порядок
SN> действий) в неассоциативном произведении из n элементов столько же,
SN> сколько способов разбить выпуклый (n + 1)-угольник на треугольники
SN> непересекающимися диагоналями. (Для произведения трёх множителей есть
SN> два варианта (ab)c и a(bc); с другой стороны, есть два способа
SN> разрезать четырёхугольник на два треугольника, проведя диагональ. Для
SN> произведения четырёх сомножителей и для пятиугольника имеется по 5
SN> вариантов.)

Глянув на формулу с факториалами, понял, что сходу мне эту задачу не решить и удалился думать.


С уважением - Alexander
--- -